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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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4. Calcular.
b) $\int\left(x^{3}+5 x^{2}+(5 x-1)^{9}\right) dx$

Respuesta

Primero, separamos la integral en tres partes:
$ \int \left(x^3 + 5x^2 + (5x - 1)^9\right) dx = \int x^3 \, dx + \int 5x^2 \, dx + \int (5x - 1)^9 \, dx $
Y ahora calculamos cada integral por separado:

-> Para la primera integral, integramos por tabla:
$ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} $


-> Para la segunda integral, también integramos por tabla:
$ \int 5x^2 \, dx = 5 \int x^2 \, dx = 5 \left(\frac{x^3}{3}\right) = \frac{5x^3}{3} $

-> La tercera integral no podemos integrarla por tabla así que tenemos que usar un método de integración. Vamos a usar la sustitución $u = 5x - 1$. Entonces, $du = 5  dx$ o \(dx = \frac{du}{5}\).
La integral se convierte en:
$ \int (5x - 1)^9 \, dx = \int u^9 \frac{du}{5} = \frac{1}{5} \int u^9 \, du = \frac{1}{5} \left(\frac{u^{10}}{10}\right) = \frac{u^{10}}{50} $
Sustituyendo \(u = 5x - 1\):
$ \frac{(5x - 1)^{10}}{50} $


Ahora sí, combinamos todas las integrales y al final de la expresión agregamos la constante "+C":
$ \int \left(x^3 + 5x^2 + (5x - 1)^9\right) dx = \frac{x^4}{4} + \frac{5x^3}{3} + \frac{(5x - 1)^{10}}{50} + C $


Por lo tanto, la solución final es:
$ \int \left(x^3 + 5x^2 + (5x - 1)^9\right) dx = \frac{x^4}{4} + \frac{5x^3}{3} + \frac{(5x - 1)^{10}}{50} + C $
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Avatar Magdalena 22 de junio 15:55
holaa, una consulta en la integral con metodo de sustitucion, cuando sale el -1 del parentesis, no quedaria como -1/5?
Avatar Julieta Profesor 23 de junio 14:24
@Magdalena Hola Magda! Nop! 


 $u = 5x - 1$. Entonces, $du = 5  dx$ -> $dx = \frac{du}{5}$

Al reemplazarla en la integral simplemente sale el 1/5.
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